Contoh Soal Panjang Busur, Luas Juring, dan Tembereng

Sebelum anda mempelajari contoh soal berikut ini, alangkah baiknya anda mempelajari konsep tentanghubungan antara sudut pusat, panjang busur, luas juring dan tembereng suatu lingkaran. Akan tetapi jika sudah mempelajarinya silahkan lihat contoh soalnya berikut ini.

Contoh Soal 1

Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga ∠AOB = 35° dan ∠COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:

Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut

Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.

CD/AB = ∠COD / ∠AOB

CD /14 cm = 140°/35° 

CD = (140°/35°) x 14 cm

CD = 4  x 14 cm

CD = 56 cm

Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2

Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm².

Hitunglah

a. luas juring POQ;

b. jari-jari lingkaran;

c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:

a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini

Luas AOB/Luas POQ = ∠AOB /∠POQ

50 cm²/ Luas POQ = 75°/60°

50 cm²/ Luas POQ = 1,25

Luas POQ = 50 cm²/1,25

Luas POQ = 40 cm²

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ

πr² /luas juring POQ = 360°/∠POQ

πr²/40 cm² = 360°/60°

πr²/40 cm² = 6

πr² = 40 cm² x 6

πr² = 240 cm²

r² = 240 cm²/(22/7)

r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:

luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB

luas lingkaran/50 cm²  = 360°/75°

luas lingkaran/50 cm²  = 4,8

luas lingkaran = 4,8 x 50 cm²  

luas lingkaran = 240 cm²  

atau dengan menggunakan rumus πr², maka:

πr² = (22/7) x (8,74 cm)

πr² = (22/7) x (76,3878 cm)²

πr² = 240 cm²

Contoh Soal 3

Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah

a. panjang busur di hadapan sudut 30°;

b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:

a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = ∠AOB maka:

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°

panjang AB/125,6 cm = 1/12

panjang AB = 125,6 cm/12

panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = ∠POQ maka:

luas POQ /luas lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

luas POQ /πr²= 45°/360°

luas POQ = (45°/360°) x πr²

luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)²

luas POQ = 157 cm²

Contoh Soal 4

Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring  POQ.

Penyelesaian:

keliling lingkaran tersebut adalah

K = 2πr

K = 2 x (22/7) x 28 cm

K = 176 cm

Luas lingkaran tersebut adalah

L = πr²

L = (22/7) x (28 cm)²

L = 2464 cm²

Sekarang cari sudut POQ

∠ POQ /∠ 1 lingkaran = panjang PQ/keliling lingkaran

∠ POQ /360° = 17,6cm/176 cm

∠ POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°

∠ POQ = 36°

luas juring  POQ/Luas Lingkaran = ∠ POQ/∠ 1 lingkaran

luas juring  POQ/2464 cm² = 36°/360°

luas juring  POQ = 0,1 x 2464 cm²

luas juring  POQ = 246,4 cm²

Contoh Soal 5

Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut.

Penyelesaian:

a. Pada gambar (a) diketahui ∠AOB = 45°, panjang jari-jari lingkaran (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih dahulu cari panjang AB, maka

panjang AB/keliling lingkaran = ∠AOB/∠ 1 lingkaran

panjang AB/2πr = ∠AOB/360°

panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°

panjang AB/69,08 cm = 0,125

panjang AB = 69,08 cm x 0,125

panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AO

keliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cm

keliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih dahulu cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),maka

luas juring  AOB /Luas Lingkaran = ∠ AOB /∠ 1 lingkaran

luas juring  AOB /πr² = 45°/360°

luas juring  AOB = 0,125 x πr²

luas juring  AOB = 0,125 x 3,14 x (11 cm)²

luas juring  AOB = 47,49 cm²

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)

luas juring  COD /Luas Lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring  COD/πr² = 45°/360°

luas juring  COD = 0,125 x πr²

luas juring  COD = 0,125 x 3,14 x (6 cm)²

luas juring  COD = 14,13 cm²

Luas ABCD = luas juring  AOB = 47,49 cm² - luas juring  COD = 14,13 cm²

Luas ABCD = 47,49 cm² - 14,13 cm²

Luas ABCD = 33,36 cm²

Contoh Soal 6

Hitunglah luas tembereng pada gambar berikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.

penyelesaian:

a. untuk mencari luas tembereng gambar (a) terlebih dahulu cari luas juring AOB dan luas ΔAOB:

luas juring AOB = ¼ luas lingkaran

luas juring AOB = ¼ x πr²

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x (14 cm )²

luas juring AOB = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm²

luas juring AOB = 154 cm²

luas ΔAOB = ½ x alas x tinggi

luas ΔAOB = ½ x 14 cm x 14 cm

luas ΔAOB = 98 cm²

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB

Luas tembereng = 154 cm² – 98 cm²

b. untuk mencari luas tembereng gambar (b) terlebih dahulu cari luas juring COD dan luas ΔCOD:

luas juring COD/luas lingkaran = ∠ COD /∠ 1 lingkaran

luas juring COD/ πr² = 60° /360°

luas juring COD = (60°/360°) x πr²

luas juring COD = (1/6) x (22/7) x (14 cm )²

luas juring COD = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm²

luas juring AOB = 102,67 cm²

Karena besar ∠ COD = 60^o, maka ΔCOD sama sisi dengan panjang sisi 14 cm,

s = ½ x keliling segitiga

s = ½ x (a + b + c)

s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)

s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)

s = 21 cm

luas ΔCOD = √(s(s-a)(s-a)(s-a)

luas ΔCOD = √(21 (21-14)(21-14)(21-14)

luas ΔCOD = √(21 x 7 x 7 x 7)

luas ΔCOD = √(21 x 343)

luas ΔCOD = √(7203)

luas ΔCOD = 84,87 cm²

Luas tembereng = luas juring COD – luas segitiga COD

Luas tembereng = 102,67 cm²– 84,87 cm²

Luas tembereng = 17,80 cm²

^{Contoh Soal 7}

Pada gambar di bawah, panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar ∠ POQ = 45°. Hitunglah besar ∠ QOR.

Penyelesaian:

∠ QOR /∠ POQ =panjang busur QR / panjang busur PQ

∠ QOR/45°= 75 cm/50 cm

∠ QOR/45°= 1,5

∠ QOR = 1,5 x 45°

∠ QOR = 67,5°

Contoh Soal 8

Pada gambar di bawah, besar ∠ POQ = 72° dan panjang jari-jari OP = 20 cm.

Hitunglah

a. panjang busur besar PQ;

b. luas juring besar POQ.

Penyelesaian:

panjang PQ/keliling lingkaran = ∠POQ/∠ 1 lingkaran

panjang PQ /2πr = ∠POQ /360°

panjang PQ /(2 x 3,14 x 20 cm) = 72°/360°

panjang PQ /125,6 cm = 0,2

panjang PQ = 125,6 cm x 0,2

panjang PQ = 25,12 cm

luas juring  POQ /Luas Lingkaran = ∠ PQ /∠ 1 lingkaran

luas juring  POQ /πr² = 72°/360°

luas juring  POQ = 0,2 x πr²

luas juring  POQ = 0,2 x 3,14 x (20 cm)²

luas juring  POQ = 251,2 cm²